Деление многочлена на двучлен: схема Горнера, столбик и другие способы

blogtest · 05.09.2026 23:17 #математика

Содержание

Деление многочлена на двучлен вида $x-a$ — одна из самых частых операций в школьной и вузовской алгебре: на ней держатся разложение на множители, поиск корней, упрощение рациональных дробей. Разберём простейшие способы — схему Горнера, деление столбиком, теорему Безу и метод неопределённых коэффициентов — на одном сквозном примере, чтобы было видно: все ответы совпадают.

Постановка задачи

Пусть дан многочлен

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,$

и двучлен $x - c$ . Требуется представить его в виде

$P(x) = (x - c)\,Q(x) + R,$

где $Q(x)$ — многочлен степени $n-1$ (частное), а $R$ — число (остаток). Если $R = 0$ — двучлен делит многочлен нацело.

Сквозной пример для всех способов:

$P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6, \qquad c = 2.$

Теорема Безу — ключ ко всему

Теорема Безу утверждает: остаток от деления $P(x)$ на $x - c$ равен значению многочлена в точке $c$ :

$R = P(c).$

Отсюда сразу следует критерий делимости: $x - c$ делит $P(x)$ нацело тогда и только тогда, когда $P(c) = 0$ , то есть $c$ — корень многочлена.

Посчитаем остаток для нашего примера заранее — он станет проверкой для любого способа:

$P(2) = 2\cdot 16 - 3\cdot 8 + 4 - 10 + 6 = 8.$

Схема Горнера — простейший способ

Самый быстрый способ деления на $x - c$ . Идея — коэффициенты частного вычисляются «бегущей строкой»: каждый следующий получается из предыдущего умножением на $c$ и сложением.

Алгоритм:

Выписать все коэффициенты многочлена по убыванию степеней (не забывая нулевые).
Первый коэффициент снести вниз.
Умножить его на $c$ и сложить со следующим коэффициентом — это следующий коэффициент частного.
Повторять до конца строки. Последнее число — остаток.

Для $P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6$ , $c = 2$ — таблица Горнера:

$\begin{array}{r|rrrrr} & 2 & -3 & 1 & -5 & 6\\[2pt] 2 & & 4 & 2 & 6 & 2\\[2pt] \hline & 2 & 1 & 3 & 1 & 8 \end{array}$

Столбцы: сверху — коэффициенты, в середине — произведения $c \cdot b$ , снизу — результаты (они же коэффициенты частного; последний — остаток). Распишем подробно, что откуда берётся:

$2 \xrightarrow{\,\cdot\,2\,} 4, \quad -3 + 4 = 1,$

$1 \xrightarrow{\,\cdot\,2\,} 2, \quad 1 + 2 = 3,$

$3 \xrightarrow{\,\cdot\,2\,} 6, \quad -5 + 6 = 1,$

$1 \xrightarrow{\,\cdot\,2\,} 2, \quad 6 + 2 = 8.$

Читаем результат снизу: частное $Q(x) = 2x^3 + x^2 + 3x + 1$ , остаток $8$ — совпадает с теоремой Безу.

В общем виде правило записывается рекуррентно:

$b_{n-1} = a_n, \qquad b_{k-1} = a_k + c\,b_k \quad (k = n-1, \ldots, 1), \qquad R = a_0 + c\,b_0.$

Где взять такое разбиение

Схему Горнера удобно визуализировать как таблицу: строка коэффициентов сверху, строка результатов снизу, а промежуточные произведения — между ними. Двигаться строго слева направо, тогда не собьёшься.

Деление столбиком (уголком)

Универсальный способ: работает для деления на любой многочлен, а не только на двучлен. Правда, для двучлена он избыточен. Каждый шаг одинаков: делим старший член текущего остатка на старший член делителя, записываем результат в частное, умножаем на делитель и вычитаем.

$\begin{array}{rrrrrrr} && 2x^3 & +x^2 & +3x & +1\\ x-2 &\bigm| & 2x^4 & -3x^3 & +x^2 & -5x & +6\\[3pt] && -2x^4 & +4x^3\\ \hline &&& x^3 & +x^2 & -5x & +6\\ &&& -x^3 & +2x^2\\ \hline &&&& 3x^2 & -5x & +6\\ &&&& -3x^2 & +6x\\ \hline &&&&& x & +6\\ &&&&& -x & +2\\ \hline &&&&&& 8 \end{array}$

Частное стоит над делимым, делитель — слева от черты; каждая пара строк под линией — очередное вычитание. Механика видна целиком: $2x^4 \div x = 2x^3$ , затем $x^3 \div x = x^2$ , затем $3x^2 \div x = 3x$ , наконец $x \div x = 1$ . Остаток $8$ — снова он.

Обобщение: деление на $ax - b$

Если двучлен имеет коэффициент при $x$ — делитель $ax - b$ с корнем $\dfrac{b}{a}$ — схема Горнера работает в два приёма:

Поделить многочлен на $x - \dfrac{b}{a}$ (обычная схема Горнера);
Разделить коэффициенты полученного частного на $a$ .

Пример: $(6x^3 - 7x^2 + x - 2) \div (2x - 1)$

Корень делителя $c = \dfrac{1}{2}$ . Схема Горнера:

$\begin{array}{r|rrrr} & 6 & -7 & 1 & -2\\[2pt] \frac12 & & 3 & -2 & -1\\[2pt] \hline & 6 & -4 & -1 & -\frac52 \end{array}$

Частное от деления на $x - \tfrac{1}{2}$ : $6x^2 - 4x - 1$ , остаток $-2{,}5$ . Делим коэффициенты на $2$ :

$Q(x) = 3x^2 - 2x - \frac{1}{2}, \qquad R = -\frac{5}{2}.$

Проверка раскрытием скобок:

$(2x-1)\left(3x^2 - 2x - \frac12\right) - \frac52 = 6x^3 - 7x^2 + x - 2.$

Метод неопределённых коэффициентов

Алгебраический способ «без деления»: записываем частное в общем виде с неизвестными коэффициентами, раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

$2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6 = (x - 2)\left(b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0\right) + R.$

Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты, получаем систему — она решается почти сама, сверху вниз:

$b_3 = 2,$

$b_2 - 2b_3 = -3 \;\Rightarrow\; b_2 = 1,$

$b_1 - 2b_2 = 1 \;\Rightarrow\; b_1 = 3,$

$b_0 - 2b_1 = -5 \;\Rightarrow\; b_0 = 1,$

$R - 2b_0 = 6 \;\Rightarrow\; R = 8.$

Тот же ответ. Способ громоздкий для единичного примера, но незаменим, когда нужно вывести формулу, а не посчитать число.

Что выбрать

Задача	Способ
Быстро поделить на $x-c$	Схема Горнера
Поделить на любой многочлен	Столбик
Проверить, что $c$ — корень / есть ли делимость	Теорема Безу
Вывести общую формулу	Неопределённые коэффициенты

Итог

Остаток от деления на $x - c$ всегда равен $P(c)$ — это теорема Безу, универсальная проверка.
Схема Горнера — простейший способ для двучлена $x - c$ : весь счёт умещается в одну строку.
Столбик — универсален, но для двучлена избыточен.
Делитель $ax - b$ сводится к схеме Горнера: разделить на $x - \frac{b}{a}$ и поделить коэффициенты на $a$ .