Прибыльность, пропорциональная вкладам.

admin, 22 июля 2020 г. 12:10
Прибыльность, пропорциональная вкладам.

Задачка

Пусть А и Б вложили 1 рубль и 2 рубля каждый и купили самовар за 3 рубля, а потом продали его за 6. Поделив деньги согласно вкладу, они получили по 2 и 4 рубля соответственно, причем прибыльность операции для каждого составила 100%. И тут Б решил, что это не честно. Денег он дал вдвое больше, значит, и прибыльность операции должна для него быть вдвое больше. Как поделить денежки так, чтобы прибыльность операции для А и Б была пропорциональна их вкладам?

Решение

Имеем: вклады a и b, доход c. Найти: суммы выплат x и y, такие, что прибыльность пропорциональна вкладам.

x + y = c
\frac{x - a}{a}, \frac{y-b}{b}
\frac{\frac{x - a}{a}}{\frac{y-b}{b}} = \frac{a}{b}
\frac{bx-ab}{a}=\frac{ay-ab}{b}
\frac{b}{a}x-\frac{a}{b}y=b-a
y=c-x
\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)x=b-a+\frac{ac}{b}
\dots

Итого, получаем:

x=\frac{ab^2-a^2b+a^2c}{a^2+b^2}
y=\frac{a^2b-ab^2+b^2c}{a^2+b^2}

Ответ

Возвращаясь в А и Б получаем, что А должен получить 1 рубль 60 копеек, а Б достанется 4 рубля 40 копеек. Тогда доходность операции для А составит 60%, а для Б целых 120%, вдвое больше, как и требовалось.

Дальше

Прибыли x' и y' игроков А и Б:

x' = x - a, \; y' = y - b
x' = \frac{ab^2-a^2b+a^2c}{a^2+b^2} - a = \frac{ab^2-a^2b-a^2c-a^3-ab^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2c-a^3-a^2b}{a^2+b^2}
x'=\frac{a^2}{a^2+b^2}(c-(a+b))
y'=\frac{b^2}{a^2+b^2}(c-(a+b))

И тогда для N игроков со вкладами a₁, a₂, ... и доходом C:

x_k' = \frac{a_{k}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{N}{a_{i}^{2}}}\left(c - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}\right)

И выплаты:

x_k = a_k+\frac{a_{k}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{N}{a_{i}^{2}}}\left(c - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}\right)
Последние публикации